در محاسبات تعادلی و تغییر شکل گنبدهای پوسته ای دو مکتب وجود داشت :
1- نظریه غشایی 2-نظریه خمشی
در مکتب نخست از تاثیر لنگر خمشی در محاسبات این نوع گنبدها صرفنظر می شود و این امر در گنبدهای پوسته ای بلند مورد پیدا می کند و نتیجه حاصله با واقعیت مطابقت دارد زیرا در این حالت کمیت لنگر خمشی اندک و قابل اغماض است در صورتیکه تاثیر قوس و انحناء بسیار مهم می باشد .
در مکتب دوم تاثیر لنگر خمشی در محاسبات منظور می گردد و این موضوع در گنبدهای پوسته ای خوابیده مصداق پیدا می کند که در آنها تاثیر عمل صفحه ها بر عمل قوس و انحنا فزونی دارد و دیگر نمی توان تاثیر خمشی را نادیده گرفت .
اعمال و رعایت شرایط مناسب در تکیه گاهها ر مکتب دوم کاملاًٌ شناخته شده است ولی در مکتب نخست شرایط تا حدی حائز اهمیت بیشتری می باشد زیرا این شرایط باید طوری باشد که شرط اساسی صرفنظر کردن از تاثیر لنگر خمشی را نقض ننماید .
این مقاله که از نظر خوانندگان می گذرد راجع به تعیین شرایط حدی طبیعی در این نوع گنبدها می باشد برای آنکه بحث در این موضوع جنبه عام داشته باشد و در مورد گنبدهای پوسته ای با شکل اختیاری صادق باشد در این مقاله گنبد پوسته ای با شکل غیر مشخص در نظر گرفته شده است به طوریکه هر نقطه از سطح میانگین آن دارای مختصات : Z=Z(X,Y)
باشد که در آن X و Y و Z یک دستگاه مختصات متعامد را تشکیل داده وz یک تابع تک مقداری از دو متغیر مستقل X و Y باشد .
انرژی تغییر شکل چنین پوسته ای بدواً محاسبه گردیده سپس تغییرات آن تعیین و برابر صفر قرار داده شده است تا شرایط حدی طبیعی بدست آید .
نتایج بدست آمده در گنبدهای انتقالی مانند گنبدهای استوانی با محیط مربع مستطیلی و غیر قابل اعمال می باشد در پایان این مقاله ترکیبات ممکن از این شرایط حدی طبیعی در حالات زیر بررسی گردیده است :
الف –لبه آزاد ب-لبه متکی بر دیافراگم
ج-لبه متکی بر تکیه گاه آزاد د- لبه گیردار
)