در این مقاله ریاضیات مربوط به تعمیم و توسعه الگوی رشد توام با اشباع پرل ورید مورد بحث قرار می گیرد . معادلات دیفرانسیل بدست آمده به شکل معادلات برنولی وریکاتی هستند که با استفاده از شکل خاص آنها جواب بسته برایشان بدست می آید . رفتار مجانبی سیستم در هر مورد به طور مختصر برسی می شود و نتایج بدست آمده با یکدیگر مقایسه می شوند . الگوی ریاضی حاصل از این تعمیم در زمینه های متعددد از قبیل بررسی منابع انرژی ، جمعیت و نیروی انسانی و ... قابل کاربرد هستند که در طی مقاله به صورت مثال تشریح می شوند . این زمینه های کاربرد برای برنامه ریزی اقتصادی برنامه ریزی انرژی و غیره در ایران دارای اهمیت هستند . بررسی رشد کمی بسیاری از متغییر های فیزیکی و اجتماعی نشان می دهد که در شرایط معمولی مقدار متغییر در زمانهای متوالی از یک تصاعد هندسی پیروی می کند . بیان ریاضی این مطلب آن است که تغییرات متغییر در هر زمان متناسب با مقدار متغییر در لحظه مورد بررسی است .
)