اپراتورهای فوق کروی برای اندازه dma(X) = (1-X2)adX تشکیل یک سیستم متعامد بر بازه [-1.1] می دهند. برای a>-1.2 فرمول ضرب گگنبائر 2 نشان می دهد که هسته گگنبائر تسادفی است.
در این مقاله با در نظر گرفتن این هسته یک اپراتور مارکف PaX3 تعریف می شود و با استفاده از خواص اپراتورهای مارکف پایداری مجانبی آن به ازای 0-1.1 تعمیم می یابد.
)